A kifejezés sok matematikai fogalomhoz hasonlóan latin eredetű. A fractus szó jelentése: törött, törés. Az elnevezést 1975-ben Benoît Mandelbrot adta, ami az ilyen alakzatok törtszámú dimenziójára utal, bár nem minden fraktál tört dimenziós. A fraktálok „önhasonló”, végtelenül komplex matematikai alakzatok, melyek változatos formáiban legalább egy felismerhető (tehát matematikai eszközökkel leírható) ismétlődés tapasztalható.
A róla elnevezett különleges halmazok és a fraktálszerkezetek nagy áttörést hoztak az alkalmazott matematikában. 1967-ben a Science tudományos lapban publikált cikke hozta a fordulópontot. „Milyen hosszú Britannia partvonulata?” – tette föl a látszólag egyszerű példa-kérdést, amire igen komplex és meglepő a válasz: voltaképpen végtelen. Hasonlóan „patologikus alakzatok” (ahogyan korábban nevezték őket) figyelhetők meg –és most már a fraktálgeometria segítségével értelmezhetők is –, mint amilyenek a villamos zajok, a hurrikánok létrejötte és menete, vagy a galaxisok szerkezete. Sőt, társadalmi jelenségekre is alkalmazható, például a népességnövekedésre, mi több, a pénzügyi piacok mozgásaira is. A tekintélyes gazdasági hetilap, az Economist írja a róla való megemlékezésében, hogy Mandelbrot szerint ezek a mozgások nem a hagyományos Gauss-eloszlást követik, hanem fraktálalakzatokkal közelíthetők. Talán, ha hisznek neki, másképp alakulnak a válságok is.
A fraktál szóval rendszerint az önhasonló alakzatok közül azokra utalnak, amelyeket egy matematikai formulával le lehet írni, vagy meg lehet alkotni. Az önhasonlóság azt jelenti, hogy egy kisebb rész felnagyítva ugyanolyan struktúrát mutat, mint egy nagyobb rész.
A fraktálelv a természetben is megjelenik. Sok természeti képződmény tekinthető közelítőleg fraktálnak, de a struktúra rendszerint nem tartalmaz három-öt lépcsőnél többet. Tipikus példa a karfiol, brokkoli, a fák ágai, a levél erezetem a felhők formája, a hópelyhek alakja, hullámok fodrozódása, bár ez elsőre nem látszik. A természetben fellelhető fraktálok önhasonlósága nem szigorú; csak közelítő jelleggel, és statisztikusan érvényesül. A magasrendű képzőművészetben egy magyar, Saxon-Szász János jutott a legtovább. A képein megjelenő Polidimenzionális mezők nemcsak a dimenzió- és lépésváltásokat idézik meg, de sokat mondanak el a világ teremtéséről és változásáról, azaz a természetről is. A fraktálok számos más művészeti ágra is hatással voltak, például a zenére, ékszerészetre.
A fraktálok lényege, hogy ugyanazt a szabályt alkalmazzuk egymás után nagyon sokszor. A kiindulási pontra (n) elvégzett művelet eredményére, újra elvégezzük a műveletet, és megnézzük mi lett az eredmény (n+1). Erre az eredményre ismét elvégezzük, és kapunk egy újabb eredményt (n+2). Ezzel ismét megtesszük ugyanezt (n+3), és így tovább ezzel a szisztémával. Ezt a végtelenségig lehet folytatni, mert a műveletet bármikor el tudjuk végezni még egyszer. Így egy valóban végtelen sorozatot kaptunk. Ha ezeket a sorozatokat grafikusan megjelenítjük, az a fraktálgeometria. Létrehozásához nélkülözhetetlen volt a számítástechnika. Ugyanis maga az utasítássorozat (amit a számítógép végtelenszer végrehajt) jelenti a teljes képet. Ez a tulajdonság (az utasítás-sorozat) határozza meg a fraktálok alakját. A Cantor halmaz, vagy Cantor por előállítása úgy történik, hogy egy szakaszt három részre osztunk, majd kivesszük a középsőt. Ezután a két szélső szakaszt (mintha a mérleg két serpenyőjét néznénk) ismét három-három részre osztjuk, majd kivesszük a középső részt. Így az eredeti egységből első lépésben hármasságot kapunk, majd hetességet, tizenötösséget, stb.
A Koch görbe, és a Koch hópehely ennél sokkal látványosabb. Kiindulópontunk egy egyenlő oldalú háromszög. Minden oldalát három egyenlő részre osztjuk, és a középső helyére ismét egy egyenlő oldalú háromszöget illesztünk. Ha még tudjátok követni, akkor milyen alakzatot hoztunk létre?
Egy szabályos hatszöget!
Ezek után már csak a csillag ágainak csipkézete finomodik, egyre jobban megközelítve a hópihe alakját.
A geometria, biológia, geológia mellett a társadalomtudományokban is megfigyelhetjük az ismétlődéseket. Azért nehezebb ráismernünk, mert sokkal több tényező módosíthatja őket, és a kép sokkal kevésbé szabályos, mint a geometriában.
Nézzük például a családot. Leszármazás szerint ábrázolva a családfa fraktál-jellege egyértelmű. A különböző tulajdonságok megjelenése a gyermekekben is ismétlődő szabályokat követ: mi öröklődik dominánsan és mi regresszíven (a nagyi szeme színe vagy a dédi hajának göndörsége). Az értékrendek sorsának nyomon követése már sokkal nehezebb. Itt hívom segítségül Eric Berne-t. Ő az egyén személyiségét három szintre osztotta: Gyermek-én, Felnőtt-én, Szülő-én. Mindennapi életünk során a résztvevő felek nem szükségszerűen működnek ugyanazon a szinten. A reggeli elkészülés természetesen más szinten zajlik, mint a hétvégi nyugodt beszélgetés, de a párbeszédek általában tipizálhatóak. Ezekben a medrekben tereljük gyermekeink viselkedését, és örökítjük tovább a családi értékrendet, szokásokat. Ez nem jelent megváltoztathatatlan pályát: tudatosan figyelve megtörhetjük a fraktál-alakzat szabályosságát, módosíthatjuk annak alakját.